6 傅立叶与现代生活
6.1 开场
长期以来，傅立叶变换已被证明在应用于信号和图像处理以及分析量子力学现象方面非常有用。在傅立叶分析理论诞生的这两百多年的时间里，对人类生活的各方面都产生了深刻的影响。傅立叶分析的思想对人类生活的影响如此之远，导致现代很多技术、文化都与之密切相关，每逢各种傅立叶的纪念日，都会有一些特别的学术活动来纪念他。
在约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier）诞辰 200 周年之际，W. A. Coppel 就撰写了一篇综述文章，概述了傅立叶思想在纯数学领域的多样性发展，主要包括傅立叶级数的收敛性、特征函数、傅立叶积分、正定函数、群论上的傅立叶分析等方面(Coppel 1969)。
Coppel, WA. 1969. “JB Fourier—on the Occasion of His Two Hundredth Birthday.” The American Mathematical Monthly 76 (5): 468–83.
1 MDPI（Multidisciplinary Digital Publishing Institute）由林树坤博士创办于1996年，是全球领先的Open Access出版公司之一，总部位于瑞士巴塞尔，同时在中国，西班牙，塞尔维亚，英国，日本，罗马尼亚，加拿大，波兰，新加坡以及泰国设有分公司。URL：https://www.mdpi.com/
Barbaresco, Frédéric, and Jean-Pierre Gazeau. 2019. “Joseph Fourier 250th Birthday: Modern Fourier Analysis and Fourier Heat Equation in Information Sciences for the XXIst Century.” Entropy 21: 250.
在约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）诞辰 250 周年之际，MDPI1 特别出版特刊探讨与傅立叶分析和傅立叶热方程相关的现代主题，包括五篇关于傅里叶谐波分析的论文，四篇关于现代傅立叶热理论的论文。以约瑟夫傅立叶命名的傅立叶分析解决了经典的交换谐波分析，二十世纪傅里叶分析的现代发展探索了傅里叶和傅里叶-普朗谢尔公式（Fourier-Plancherel formula）的推广，用于非交换调和分析（on-commutative harmonic analysis），应用于局部紧致非阿贝尔群（locally compact non-Abelian groups）。约瑟夫傅立叶的名字也离不开热数学的研究：热方程的现代研究探索了经典扩散方程在黎曼流形、次黎曼流形（Riemannian, sub-Riemannian manifolds）和李群（Lie groups）上的几何扩展(Barbaresco and Gazeau 2019)。
6.2 FFT算法
严格地讲，傅里叶变换只能用于分析连续信号。有一种基于计算机 分析的方法可以将傅里叶变换作用于时间上离散的值，称作离散傅里叶变换（discrete Fourier transformation，DFT）。当人们最初开始使用计算机做 DFT 的时候，运算的时间很长，离散傅里叶变换（DFT）将频域离散化成有限长序列，但其计算量太大，很难实时地处理问题快速傅立叶算法。
不久人们便提出了一种可以减少 DFT 运算时间的算法，称为快速傅里叶变换（Fast Fourier transformation，FFT），是 DFT 的一种特殊形式。FFT 的主要特性是其计算的点数总是2的幂，比如16、32、64、128、256、512、1024、2408、4096……点。快速傅立叶算法，使得现在在工程里广泛应用傅立叶分析成为可能。从此，对快速傅里叶变换（Fast Fourier Transformation，FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发展而迅速发展。尽管现代计算机的计算能力有了巨大的提高，足以在可接受的时间内完成 DFT 运算，但是大多数计算机程序使用的还是 FFT。
TODO: 解释一下 DCT的计算量，以及FFT的技术原理。
(Cooley, Lewis, and Welch 1967) 里有简单讨论一下 FFT 的历史，挺有趣的，而(Cooley and Tukey 1965)、(Cooley, Lewis, and Welch 1969)可以认为是最早系统性阐述 FFT 的论文，而(Cochran et al. 1967)则是对FFT更详细的论述。而对于想更系统地阅读 FFT 理论，(Brigham 1988) 和 (Rao, Kim, and Hwang 2010) 都是知名作品。
Cooley, James W, Peter AW Lewis, and Peter D Welch. 1967. “Historical Notes on the Fast Fourier Transform.” Proceedings of the IEEE 55 (10): 1675–77.
Cooley, James W, and John W Tukey. 1965. “An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series.” Mathematics of Computation 19 (90): 297–301.
———. 1969. “The Fast Fourier Transform and Its Applications.” IEEE Transactions on Education 12 (1): 27–34.
Cochran, William T, James W Cooley, David L Favin, Howard D Helms, Reginald A Kaenel, William W Lang, George C Maling, David E Nelson, Charles M Rader, and Peter D Welch. 1967. “What Is the Fast Fourier Transform?” Proceedings of the IEEE 55 (10): 1664–74.
Brigham, E. Oran. 1988. The Fast Fourier Transform and Its Applications. Prentice-Hall Signal Processing Series. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall.
Rao, Kamisetty Ramamohan, Do Nyeon Kim, and Jae Jeong Hwang. 2010. Fast Fourier Transform: Algorithms and Applications. Vol. 32. Springer.
6.3 小说里的傅立叶分析
傅立叶在工程应用中是如此的重要，因此也大量出现在了科幻、文学作品里。
傅立叶出现在大量的科幻小说里，比如今年最火的科幻小说Project Hail Mary（中文译名《拯救计划》）里，外星人就是用的一种和弦发音器来发音，他们的听力特别敏锐；而小说主人公，则是用傅立叶分析来对外星人的语音进行识别。
6.4 傅立叶分析与光学
以前我在读书的时候，以为傅立叶分析只是在信息学科里使用，毕竟傅立叶分析处理的是时间序列上的全局问题，可是后来通过一些科技文献的阅读才知道，原来傅立叶分析还可以用在光学上，并且还出现了很多类似的专著，其中(Joseph W. Goodman 2020)就是其中的代表作品。
Joseph W. Goodman. 2020. 傅里叶光学导论（第四版）. Translated by 陈家璧, 秦克诚, and 曹其智. 北京: 科学出版社.
很多人可能会觉得很奇怪，光学是一个空间性的信号，这个怎么会和傅立叶分析扯上关系呢？这里借用(Joseph W. Goodman 2020, 1)第1.1节“光学、信息和通信”里的内容来解释这个问题：
从20世纪30年代后期以来，物理学的古老分支—光学与电气工程中的通信和信息科学的联系越来越紧密。这种趋势可以理解，因为通信系统和成像系统都是用来收集或传递信息的。前者处理的信息一般是时间性的（如被调制的电压或电流波形)，而后者处理的信息则是空间性的（如光波振幅或强度在空间的分布）。但从抽象观点看，这一差别并非实质性的。
这两门学科之间最紧密的联系大概是：都可用类似的数学方法—傅里叶分析和系统理论来描写各自感兴趣的系统。这种相似性的根本原因，并不仅仅是两门学科都拥有“信息”这一共同主题，而更在于通信系统和成像系统具有某些相同的基本性质。例如，许多电子网络和成像装置都具有线性和不变性（其定义见第2章）。任何具有这两种性质的网络或装置（电子的、光学的或其他），在数学上都很容易用频谱分析方法来描述。因此，正像一个音频放大器可用它的（时间）频率响应方便地描述一样，一个成像系统用它的（空间）频率响应来描述也同样方便。
即使两门学科之间没有线性和不变性的相似性，它们之间还有别的类似。某些非线性光学元件（如照相底片）具有的输入输出关系，正类似于非线性电子学元件（二极管、晶体管等）的相应特性，并且类似的数学分析方法可以应用于二者。
尤其重要的是要知道，数学结构的相似不仅可用于分析目的，而且可用于综合目的。于是，正像一个时间函数的频谱可按预定方式作滤波操作一样，一个空间函数的频谱也可按想要的方式加以改变。在光学的历史上，有许多因为应用傅里叶综合技术而得到重要进展的例子，如策尼克相衬显微镜就是一个赢得诺贝尔奖的案例。在信号与图像处理领域可以看到许多别的例子。
傅里叶变换在光学里最典型的应用，就是傅里叶变换红外光谱仪（Fourier Transform Infrared Spectrometer，简写为FTIR Spectrometer），简称为傅里叶红外光谱仪。它不同于色散型红外分光的原理，是基于对干涉后的红外光进行傅里叶变换的原理而开发的红外光谱仪。
6.5 傅立叶与温室效应
傅立叶是第一个从数学角度研究地球温度的人，最早于他的论文(Fourier 1827)里提出了温室效应这个现象，而事实上，这篇1827年论文只是他1824年一篇论文(Fourier 1824)的重印本，Ebenezer Burgess 把这篇1824年傅立叶的法文论文翻译成了英文(FOURIER 1837)。原文是用法文写作，标题名称翻译成英文就是“MEMOIR on the temperature of the earth and planetary spaces”，如果翻译成中文就是“关于地球和行星空间温度的备忘录”。整篇论文充满了19世纪的科技写法，晦涩难懂，有兴趣的同学可以读一读 W M Connolley 的现代英文翻译(William M. Connolley 2003)。
Fourier, Joseph. 1824. “Remarques Générales Sur Les Températures Du Globe Terrestre Et Des Espaces Planétaires.” In Annales de Chemie Et de Physique, 27:136–67.
FOURIER, Baron. 1837. “ART. I.–General Remarks on the Temperature of the Terrestrial Globe and the Planetary Spaces; by Baron Fourier.” Translated by Ebenezer Burgess. American Journal of Science and Arts (1820-1879) 32 (1): 1–20.
William M. Connolley. 2003. “Translation by W M Connolley of: Fourier 1827: MEMOIRE Sur Les Temperatures Du Globe Terrestre Et Des Espaces Planetaires.” http://www.wmconnolley.org.uk/sci/fourier_1827/fourier_1827.html.
在论文中，傅立叶检查了白天和黑夜以及夏季和冬季之间的温度变化，并得出结论认为这颗行星比简单的分析可能表明的要温暖得多。傅立叶计算出，如果太阳的入射辐射是唯一的变暖效应，它会比现在冷得多。傅立叶提到了索绪尔的一项实验，该实验用黑色软木塞在花瓶上：“我们应该感谢著名的航海家 M. de Saussure 的一项实验，该实验似乎对阐明这个问题非常重要。它包括将一个花瓶暴露在阳光下，花瓶上覆盖着一层或多层透明玻璃，间隔一定距离。花瓶的内部衬有一层厚厚的黑色软木（或烧焦的软木？），以接收和保存热量。无论是在盒子中还是在板之间的每个间隔中，加热的空气在所有部件中都被密封。放置在花瓶中的温度计和间隔标记了每个地方获得的热量程度。该仪器在接近中午的时候暴露在阳光下，在不同的实验中看到，花瓶的温度计达到了 70、80、100、110 度及以上（注：我猜这里应该是华氏温度单位，换算成摄氏温度应该为21~43度之间）。放置在间隔中的温度计获得的热量较小，并且从盒子的深度向外部减少。”(William M. Connolley 2003)
很多科学家们都认为他有关“地球大气就像绝缘体”的想法是我们现在所说的温室效应（greenhouse effect）的第一个表述。然而，他没有使用该术语，该术语最早出现在1901 年瑞典气象学家 Nils Gustaf Ekholm 的工作中。
当然，傅立叶提出这个问题，他的目的并不是为了解决这个问题，只是描述这一现象，并且尝试用他的数学思想和理论来描述这一现象。在页码为第 600 页的论文（原作论文刊载的页码范围为570-604页）上，傅立叶很明确地表达出他的目标：
在这本回忆录中，我重新统一了地球温度分析的所有主要要素。它是由我的许多研究成果组成的，这些成果已在一段时间前发表。在我着手处理这类问题之前，不存在关于热的数学理论，人们甚至可能怀疑这样的理论是否可能。我建立它的回忆录和著作包含基本问题的确切解决方案；多年来，它们已被公开发布和传播，或在科学期刊上印刷和分析。
在本文中，我提出了另一个目标，即引起人们对自然哲学最伟大对象之一的关注，并提出一般观点和结果。我希望几何学家们不仅要研究微积分问题，还要考虑到这门学科的重要性。今天，在一个如此广泛的问题上，人们无法解决所有疑问，其中包括，以及一个困难和新的分析的结果，非常不同的物理概念。应该通过更准确的观察来跟进；通过研究热在液体和空气中的运动规律。人们也许会发现辐射热的其他特性，或者改变地球温度的原因。但是热运动的所有主要规律都是已知的。这个理论建立在不变的基础之上，形成了数学科学的一个新分支：它今天由固体和液体中热运动的微分方程、这些第一个方程的积分以及与辐射热平衡有关的定理组成。
但是很奇怪的是，我浏览了一遍(Fourier 1827)这篇论文，通篇论文更像是一个演说词的记录，并没有公式、图表来佐证他的想法，也没有意义明确的提出和温室效应类似的准确概念，用傅立叶自己的话说：“在他看来，这篇 1824 年关于地球温度的文章虽然没有提供任何方程，但使他 1822 年关于热分析理论的巨著更加完整”。地球温度理论在傅里叶数学物理学中所起的核心作用并没有得到历史学家应有的重视，但是他故弄玄虚地对温室加热的隐晦暗示已被后来的作者广泛引用，导致很多科学家都认为傅立叶是第一个提出该理论的人。于是 James R. Fleming 对此进行过考据，认为这个说法并不正确(Fleming 1999)：“正如我已经证明的那样，傅立叶 1824 年的文章并不是他第一次提到温室的行为。 这篇文章本质上也不是关于温室效应的。”但傅立叶在气象学科里的地位，的确就这样确立起来了。
———. 1827. “Mémoire Sur Les Températures Du Globe Terrestre Et Des Espaces Planétaires.” Mémoires de l’Académie Royale Des Sciences de l’Institut de France 7: 570–604.
Fleming, James R. 1999. “Joseph Fourier, the ‘Greenhouse Effect,’ and the Quest for a Universal Theory of Terrestrial Temperatures.” Endeavour 23 (2): 72–75.
不得不说，科学世界就是有这么多有心栽花花不开、无心插柳柳成荫的故事。
傅立叶是否是第一个提出地球温室理论或许并不重要，重要的是依然是他论文里透露出来的，用数学物理方法来描述问题、解决问题的信念。
6.6 傅立叶分析与潮汐
的确，傅立叶分析在地理中的应用也非常广泛，格雷欣学院地理学教授 Raymond Flood 在2015年于伦敦博物馆对傅立叶级数进行过介绍(Flood 2015)，里面有涉及到一些在地理上有趣的应用。
Flood, Raymond. 2015. “Fourier’s Series.” Museum of London. https://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/fouriers-series.
它属于潮汐预报领域。 现代潮汐分析和预测的所有数学和机械细节都归功于威廉·汤姆森（William Thomson）从 1867 年左右开始。 他设计了一种用于预测潮汐的机器，该机器计算了几年内的水深，适用于任何港口，其潮汐成分已通过验潮仪观测的谐波分析发现——即，从表示的三角系列的系数 潮起潮落。
这里可以补充一下威廉·汤姆森的简介。
这就是威廉·汤姆森开创了潮汐预测的机械化时代，这个方法其实完全也是一套科学体系，简要来说，就是三个要点：
- 描述潮汐
- 理论上计算潮汐
- 实际计算潮汐
潮汐是由太阳和月亮对海洋的拉力、万有引力和地球自转引起的，但它在海岸上任何特定地点的确切模式取决于海岸线的形状和 附近海底的轮廓。 因此，即使完全了解推动潮汐的力量，任何一点的潮汐在理论上都是不可能计算出来的。 我们能做的就是记录一段时间内那个地点的潮汐高度，然后用这些测量值来预测那个地点未来的潮汐。
潮汐力受少数天文运动控制，这些运动本身是周期性的，但由于各种频率之间没有整数比，因此整个配置永远不会精确地重复。 昼夜平分点和至日以及月相的联合模式有一个几乎精确的 19 年周期，因此如果您等待足够长的时间，潮汐记录几乎会重复：这一事实已被用于为欧洲港口准备有用的表格。 但是，Kelvin 工作的一个主要动机是预测印度的潮汐，他们确实希望等待 19 年才能获得准确的潮汐预测。
这告诉我们如何在理论上计算系数，但是将潮汐记录乘以每条正弦曲线并计算长期平均值涉及大量实际工作。 威廉汤姆森使用他兄弟詹姆斯（James）的一项发明来机械化这个过程并获得系数。他们将自己限制在 11 个最重要的潮汐成分中。
开尔文的潮汐预测器并非纸上谈兵，在二战时以响应巴斯海军部的请求，即在第二次世界大战中 D 日登陆期间预测 Z 位置的潮汐，即本质上用傅立叶分析来帮助预测诺曼底登陆（the Normandy invasion）。
这里有模拟的网址： https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-tidesiii3
开尔文应用三角函数（正弦和余弦）逼近的另一个问题是磁罗盘的构造，并在将磁罗盘用于由大量铁或钢制成的船舶时校正对磁罗盘的影响。磁场这一块的内容，我不太熟悉，我就不详细叙述。