5 傅立叶思想的延伸
傅立叶变换这一思想，引起了后续很多类似的工具，这一章就来谈一谈这个领域的问题。
5.1 拉普拉斯变换
拉普拉斯和傅立叶变换 (FT) 是相关的，但后者将函数或信号表示为正弦曲线的叠加，而前者将函数表示为更普遍的矩叠加。拉普拉斯变换可以看成是重量版本的傅立叶变换。
正如我们在 傅立叶分析的严密性 里提到的，只要一个函数满足如狄利克雷条件，都能分解为复指数函数之和。既然有这个条件存在，那肯定存在某些函数不能作傅立叶分解。
工程师们实在太喜爱傅里叶变换，因为它能帮我们解决很多问题，通过傅立叶变换提供的频域角度来观察世界，对于全局信息的掌握与修改，简单多了。傅立叶变换把大家引入频域的大门后，这一看问题的维度就变得一发不可收拾，对于不满足条件的信号，大家也在尝试用频域的角度来进行分析，于是想到一个办法：把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于 \infty 时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。
拉普拉斯变换与傅里叶变换有关，但傅里叶变换将函数或信号表示为一系列振动模式（频率），而拉普拉斯变换将函数分解为它的矩。与傅里叶变换一样，拉普拉斯变换用于求解微分方程和积分方程。在物理学和工程学中，它用于分析线性时不变系统，例如电路、谐波振荡器、光学设备和机械系统。在此类分析中，拉普拉斯变换通常被解释为从时域（输入和输出是时间的函数）到频域（输入和输出是复角频率的函数）的变换（其中角度以弧度/时间为单位）。给定系统输入或输出的简单数学或功能描述，拉普拉斯变换提供了另一种功能描述，该描述通常简化分析系统行为或基于一组规范合成新系统的过程。
拉普拉斯变换以数学家和天文学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）命名，他在他的概率论工作中使用了类似的变换（在离散领域现在称为 z 变换）。拉普拉斯认识到约瑟夫傅里叶求解热扩散方程的傅里叶级数方法只能适用于有限的空间区域，因为解是周期性的。1809 年，拉普拉斯应用他的变换来寻找在空间中无限扩散的解——给了我们流行的拉普拉斯变换。尽管结果已经发表了至少 70 年，但直到 Oliver Heaviside 在 1880 年代自己提出了相同的方程式，这种转变才被赋予真正的物理意义。Oliver Heaviside 是一位英国数学家、电气工程师和物理学家（完全自学），他在 1880 年代致力于解决电气系统的多阶微分方程。对于大多数人来说，这类方程（通常有 10 个或更多的 y 导数）通常需要数天或数周才能解决。Heaviside 能够在数小时内解出这类方程。1880–1887年间，他独自一人发明了运算微积分——一种使用运算符的新方法( )表示法，使他能够将困难的微分方程转换为简单的代数方程。通过使用他自己的拉普拉斯变换版本，他将他的运算应用于微分方程，然后应用他自己的拉普拉斯反方程来获得答案。学术界花了很多年才接受他的结果，因为他的方法缺乏严格的证据。他用著名的陈述“数学是一门实验科学，定义不是在前，而是在后”（“Mathematics is an experimental science, and definitions do not come first, but later on”）来回应这一批评，声称“我不会仅仅因为我不了解消化过程而拒绝我的晚餐。”（“I do not refuse my dinner simply because I do not understand the process of digestion.”） 时至今日，在用这种方法求解微分方程时，逆拉普拉斯变换是最难理解的过程。
尽管拉普拉斯变换已经在 19 世纪被 Abel、Lerch、Heaviside 和 Bromwich 使用，但该变换的广泛使用却是出现在二战后不久。
有关拉普拉斯历史的介绍，可以读一读(Deakin 1981)、(Deakin 1982)，非常详尽非常专业，如果是想快速过一下历史，读一读(Nahin 1991)、(Deakin 1992) 都不错。如果想对拉普拉斯变换的理论进入深入研究，除了可以找一个信号处理的书籍来读以外，还可以读一读(Doetsch and Nader 1974)这本专著。虽然有不少中文资料都在尝试解释清楚拉普拉斯变换，但是讲得最通俗易懂的却是(J. Pan 2021)这篇文章。
5.2 小波变换
傅里叶级数理论在十九至二十世纪的基础数学研究领域占了极其重要的地位，同时也为现代信号分析奠定了基础。近年来发展出来的数学理论——小波分析正是傅里叶分析的延伸。
傅立叶变换允许对信号分解并重建它，与它本身相等，而不会丢失信息。然而，这仅对静止信号有效，更准确地说：傅立叶分析虽然局限于频率，但不提供任何有关时间领域的信息。你获得的信息是一种全局的状态信息。
为了克服傅立叶分析的限制，引入了“有窗口”的傅立叶变换概念； 该分析包括引入一个确定幅度的“窗口”函数，该函数通过执行“随时间局部化”FT 沿时间轴移动。1946 年，匈牙利人丹尼斯·加博尔（Dennis Gabor）利用高斯函数作为窗函数，试验了 STFT，即短时傅里叶变换。但是，由于功能的选择，发现了不准确之处。对于更高的频率，STFT 随着时间的推移返回相同的分辨率，并且窗口函数的宽度在分析过程中没有变化(Gabor 1946)。
然而，在 70 年代，法国人 Jean Morlet 在地球物理实验中提出了一种不同的方法来应用 STFT，同时通过压缩和扩展程序改变同一窗口的宽度来保持窗口函数不变(Morlet et al. 1982)。1984 年，J. Morlet 与 Alex Grossmann 一起引入了“小波”分析。 应用它可以克服傅立叶分析的时间限制，从而显着提高性能(Grossmann and Morlet 1984)。
小波变化的发展，承袭Gabor STFT变换的局部化思想，并且克服了傅里叶和Gabor STFT变换的部分缺陷，小波变换提供了一个可以调变的时频窗口，窗口的宽度随着频率变化，频率增高时，时间窗口的宽度就会变窄，以提高分辨率。
简单来说，傅立叶分析提供了有关频率的有价值信息，但没有时间信息；小波方法克服了这个限制。
TODO：补充一张傅立叶分析的图片，一张小波分析的图片。